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数学中的证明,有何特别之处?

2019-07-17

 

1. 在科学中,“证明”是个分量很重的词,科学家并不常把它挂在嘴边,而是每一次地使用都慎之又慎。科学家认为,自然界充满了意外,那些看起来真实正确的事情也可能有例外。在法庭上,或许法官还会根据“疑罪从无”或者“疑罪从有”来进行判断;但对数学家来说,“疑”就代表着还不够好,他们需要的是“毫无疑问”的证明——这是一件美妙的事情。  

2014年,数学家Nick BeatonMireille Bousquet-MélouJan de GierHugo Duminil-Copin以及Tony Guttmann就在一篇论文中,证明了一个于1982年提出的关于自回避行走(SAW)的猜想,它说的是,在六边形(蜂窝状)晶格上,自回避行走的生长常数为√(2+√2)。这篇论文被澳大利亚数学协学授予2018年最佳论文。 

对于数学中的证明,这些数学家们都有一个共识,那就是找到一个猜想的数学证明是个漫长而艰难的过程,它需要反复的试验、勤恳的工作和偶尔的灵光乍现 

Beaton说:“你会做很多的模拟,做很多的数值分析,你一遍又一遍地观察,然后就以为事情可能就是这样,或者觉得这就是真的。但其实数学证明并不是这样运作的,数学证明需要你可以从逻辑上证明在某个参数值上总是会发生某件事。” 

2. 以我们都熟悉的毕达哥拉斯定理勾股定理为例。在没有正式的数学证明前,毕达哥拉斯定理其实只是一个猜想。  

在课堂中,我们都学过直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。对于这个“简单”的规律,我们只需要用一张纸、一把尺子和一个计算器就能对它进行简单地验证。我们可以画1000个直角三角形,然后一一测量,就会发现这个定理对这1000个三角形都成立。 

但是,我们能因此就断定毕达哥拉斯定理适用于任何直角三角形吗?答案是否定的。我们无法对所有的直角三角形都进行测量,所以这个方法并不能确切地证明毕达哥拉斯的正确性。  

De Gier说,数学猜想是一个每个人都认为是正确的结果:“但从严格意义上说,它并没有得到逻辑上的证明。因此,或许你有大量的数值证据,又或者你掌握了强有力的论据,但它们没能构建成一个毫无疑问的真理。” 

他举了一个例子——黎曼猜想,这是一个与质数分布谜团有关的猜想。黎曼假设已经在10000,000,000,000(10万亿)个例子中得到了验证,却还是缺乏一个能证明所有例子都正确的证明。他说:“有时候,有些东西看起来好像很有说服力,但一旦深究细节,就会发现它实际上并不成立,可能也存在例外。” 

维基百科甚至有一个分类,叫“被推翻的猜想”,其中包括欧拉猜想——它在被推翻之前的几百年里,一直被认为是正确的。 

3. 让我们说回最终被证实是正确的毕达哥拉斯定理,其实,毕达哥拉斯本人并不是这个规律最早的发现者,在早于他的时代之前,这个规律就已经广为人知了。但毕达哥拉斯是提出了第一个已知证明的人。  

在他的证明中,他用到了一个不争的事实,那就是任何直角三角形都可以用两个正方形来表示,其中一个在另一个的里面,内正方形的角与外正方形的边相接。内正方形的边长为c,c可以是任何正数;外正方形的边长为a+b,它们能形成像图中所示的边长为a、b、c的直角三角形。调整内正方形的角度可以改变边长的长度。 

 

○ 毕达哥拉斯的证明。| 图片来源:William B. Faulk/Wikimedia 
 

毕达哥拉斯证明了,通过重新排列大正方形里的直角三角形,那么面积为c2的区域(白色区域)可以变成两个方块,一个面积为a2,另一个为b2。因此,在任何情况下,c2总是等于a2+ b2。  

自毕达哥拉斯之后,数学家们一直在不断地寻找证明这个定理的方法。1940年,美国数学家Elisha Scott Loomis发表了一系列毕达哥拉斯定理的证明。 

4. 在前人的证明基础上开展进一步的证明工作,在数学研究中并不少见,Beaton等人这篇获奖的论文也是如此。2010年,Duminil-Copin和俄罗斯数学家Stanislav Smirnov(菲尔兹奖得主)就证明了这个与在六边形晶格上自回避行走有关的猜想。在Beaton等人的论文中,他们对此前的证明进行了修正,得到了一个更一般化的等式。  

这篇论文探讨的是关于聚合物吸附的表面张力的数学证明。在论文中,他们使用了一种“自回避行走”聚合物的数学表达。在晶体学中,自回避行走指的是在某种格子上行走(通常是正方形或蜂窝状的晶格),行走过程中不能折回到已经走过的晶格。“自回避行走”聚合物链中的连接就无法穿越自身的链。 

当这个猜想刚被提出时,有很多人都想要尝试解开这个问题,但很少有人取得进展。在走了一些弯路、碰到一些死胡同之后,Beaton他们才在Smirnov的工作基础上,将注意力集中在了一个与晶格模型有关的被称为“离散全同态”的新的数学概念上。利用这种新的数学方法,Beaton他们发现蜂窝状晶格是证明聚合物问题的正确设定。当在蜂窝状晶格上行走时,自回避行走的数学能很好地计算出结果。  

De Gier说,数学证明不仅仅是智力上的挑战,它其实还能为我们解释与自然有关的基本知识。他说:“知道某件事会发生实或它会在哪里发生是很有趣的,但掌握那种逻辑推理更有趣,因为它能让我们洞察事物为何会以这种方式发生。” 
 

参考链接: 

[1] https://pursuit.unimelb.edu.au/articles/prove-it-with-maths 
 

来源:原理 



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